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多元函数极限

\(\mathbb{R}^n\) 中的点集

邻域、开集

定义 \(\varepsilon\)-邻域、去心邻域

• 设 \(a \in \mathbb{R}^n,\varepsilon\) 是一个正实数, 我们称集合 $$ { x\in\mathbb R^n:|\bm x - \bm a|<\varepsilon} $$
  为 \(\bm a\) 的 \(\varepsilon\)-邻域, 记作 \(B(\bm a,\varepsilon)\).

  称 \(B(\bm a,\varepsilon)\backslash \{\bm a\} = \{\bm x \in \mathbb R^n : 0 < |\bm x- \bm a|< \varepsilon\}\) 为 \(\bm a\) 的去心邻域.

定义 内点、内部

• 设 \(E\subseteq \mathbb R^n\) 且 \(\bm a \in E\). 若存在 \(\varepsilon>0\) 使得 \(B(\bm a,\varepsilon) \subseteq E\), 则称 \(\bm a\) 是 \(E\) 的内点. \(E\) 的全体内点所成之集被称作 \(E\) 的内部，记作 \(E^\circ\).

定义 外点、外部

• 设 \(E \subseteq \mathbb R^n\). 若 \(\bm a\) 是 \(E^c\) 的内点, 则称 \(\bm a\) 为 \(E\) 的外点. \(E\) 的全体外点所成之集被称作 \(E\) 的外部.

定义 边界点、边界

• 设 \(E \subseteq \mathbb R^n\). 若 \(\bm a\) 既不是 \(E\) 的内点, 也不是 \(E\) 的外点, 则称 \(\bm a\) 为 \(E\) 的边界点. \(E\) 的全体边界点所成之集被称作 \(E\) 的边界, 记作 \(\partial E\).

定义 开集

• 设 \(D \subseteq \set R n\), 若 \(G\) 中每个点均为内点, 则称 \(G\) 是 \(\mathbb R^n\) 中的开集. 即 \(G\) 是开集, 当且仅当 \(G=G^\circ\).

命题

• 设 \(E \subseteq \set R n\), 则 \(E^\circ\) 是开集.

命题

• 我们有

  (1) \(\varnothing\) 和 \(\set R n\) 都是开集.
  (2) 设 \((G_\lambda)_{\lambda\in L}\) 是一族开集, 则 \(\bigcup\limits_{\lambda\in L} G_\lambda\) 也是开集.
  (3) 设 \(G_1,\cdots,G_m\) 是开集, 则 \(\bigcap\limits_{j=1}^m G_j\) 也是开集.

定义 邻域

• 设 \(E\subseteq \set R n\), 若开集 \(G\) 满足 \(E \subseteq G\), 则称 \(G\) 是 \(E\) 的一个邻域. 特别的, 当 \(E=\{\bm a\}\) 时我们称 \(G\) 是 \(\bm a\) 的一个邻域.

聚点、闭集

定义 闭集

• 设 \(F \subseteq \set R n\), 若 \(F^c\) 是 \(\set R n\) 中的开集, 则称 \(F\) 是 \(\set R n\) 中的闭集.

命题

• 我们有

  (1) \(\varnothing\) 和 \(\set R n\) 都是闭集.
  (2) 设 \((G_\lambda)_{\lambda\in L}\) 是一族闭集, 则 \(\bigcap\limits_{\lambda\in L} G_\lambda\) 也是闭集.
  (3) 设 \(G_1,\cdots,G_m\) 是开集, 则 \(\bigcup\limits_{j=1}^m G_j\) 也是闭集.

定义 聚点、导集

• 设 \(E\subseteq \set R n\), \(\bm a \in \set R n\). 若对任意的 \(\varepsilon>0\) 均有
  $$ (B(\bm a,\varepsilon)\backslash{\bm a}) \cap E \neq \varnothing, $$
  则称 \(\bm a\) 是 \(E\) 的聚点. 称 \(E\) 的全体聚点所成之集为 \(E\) 的导集, 记作 \(E'\)

定义 孤立点

• 设 \(E \subseteq \set R n\), 如果 \(\bm a \in E\backslash E'\), 则称 \(\bm a\) 是 \(E\) 的孤立点.

定义 闭包

• 设 \(E \subseteq \set R n\), 称 \(E \cup E'\) 为 \(E\) 的闭包, 记作 \(\overline{E}\).

命题

• 设 \(E \subseteq \set R n\), 则 \(\overline{E}\) 是闭集.

命题

• 设 \(E \subseteq \set R n\), 则 \(E\) 是闭集当且仅当 \(E= \overline{E}\).

命题

• 设 \(E \subseteq \set R n\), 则 \(\overline{E}=E^\circ \cup \partial E\).

定义 极限、收敛

• 设 \(\{\bm {x_m}\}\) 是 \(\set R n\) 中的一个点列, 如果存在 \(\bm a \in \set R n\), 使得对任意的 \(\varepsilon>0\), 均存在正整数 \(N\) 满足
  $$ |\bm{x_m} - \bm a|<\varepsilon,\qquad \forall m>N. $$
  则称 \(\bm a\) 为 \(\{x_m\}\) 的极限, 并称 \(\{x_m\}\) 收敛于 \(\bm a\).

定义 柯西列

• 若 \(\set R n\) 中的点列 \(\{x_m\}\) 满足: 对任意的 \(\varepsilon>0\), 均存在正整数 \(N\) 使得
  $$ |\bm{x_l}-\bm{x_m}|<\varepsilon, \qquad \forall l,m>N, $$
  则称 \(\{x_m\}\) 是柯西列.

定理 柯西收敛准则

• \(\set R n\) 中的点列 \(\{x_m\}\) 收敛当且仅当它是柯西列.

定理 压缩映像原理

• 设 \(E\) 是 \(\set R n\) 中的闭集, \(f:E \to E\). 如果存在 \(\theta \in (0,1)\) 使得
  $$ |f(\bm x)-f(\bm y)|\le \theta|\bm x- \bm y|,\qquad \forall \bm x,\bm y \in E, $$
  那么存在唯一的 \(\bm a \in E\) 使得 \(f(\bm a)=\bm a\). 我们称 \(\bm a\) 为 \(f\) 的不动点.

定义 闭矩形

• 形如 \([a_1,b_1]\times[a_2,.b_2]\times \cdots \times [a_n,b_n]\) 的集合为 \(\set R n\) 中的闭矩形.

定义 直径

• 对 \(\set R n\) 的任意非空子集 \(E\) 记
  $$ \text{diam}(E)=\sup\limits_{\bm x,\bm y \in E}|\bm x-\bm y|, $$
  并称之为 \(E\) 的直径.

定理 闭矩形套定理

• 设闭矩形列 \(\{I_m\}\) 满足 \(I_{m+1}\subseteq I_m(\forall m \in \seta Z {>0})\) 以及 \(\lim\limits_{m\to \infty} \text{diam}(I_m)=0\), 那么存在唯一的 \(\bm a \in \set R n\) 使得
  $$ \bigcap\limits_{m=1}^\infty I_m={\bm a}. $$

定义 紧集

• 设 \(K\subseteq \set R n\), 如果 \(K\) 的每个开覆盖均有有限子覆盖, 那么我们称 \(K\) 是一个紧集,

命题

• \(\set R n\) 中的闭矩形是\(\text{紧集}\).

定义 有界

• 设 \(E\subseteq \set R n\). 若存在 \(M>0\), 使得对任意的 \(\bm x\in E\) 均有 \(|\bm x|\le M\), 则称 \(E\) 是有界的.

定理

• 设 \(K\subseteq \set R n\), 则 \(K\) 是紧集当且仅当它是有界闭集.

定理 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理

• \(\set R n\) 的任意一个有界无限子集必有聚点.

连通集

定义 开(闭)子集

• 设 \(A\subseteq E \subseteq \set R n\). 若存在 \(\set R n\) 中的开集(相应的, 闭集) \(S\) 使得 \(A=E\cap S\), 则称 \(A\) 是 \(E\) 上的开子集(相应的, 闭子集).

命题

• 设 \(E\subseteq \set R n\), \(A,B \subseteq E\), 那么

  (1) \(A\) 是 \(E\) 的开子集当且仅当对任意的 \(\bm a \in A\), 存在 \(\bm a\) 的邻域 \(U\) 使得 \(E \cap U \subseteq A\).
  (2) \(B\) 是 \(E\) 的闭子集当且仅当 \(E \backslash B\) 是 \(E\) 的开子集.

定义 连通集

• 设 \(E \subseteq \set R n\). 若不存在 \(E\) 的两个非空开子集 \(A\) 和 \(B\) 使得 \(A \cup B=E\) 且 \(A\cap B=\varnothing\), 则称 \(E\) 是 \(\set R n\) 中的连通集.

定义 区域、闭区域

• \(\set R n\) 中的连通开集被称作区域.
  如果 \(E\) 是区域，那么也将 \(\overline{E}\) 称作闭区域. 要注意的是, 闭区域不是区域.

命题

• 设 \(E\) 是 \(\mathbb R\) 的非空子集, 那么 \(E\) 是 \(\mathbb R\) 中的连通集当且仅当 \(E\) 是区间.

命题

• 设 \(E\) 是 \(\set R n\) 中的连通集, 且 \(E \subseteq S \subseteq \overline{E}\), 那么 \(S\) 也是 \(\set R n\) 中的连通集. 特别的 \(\overline{E}\) 是 \(\set R n\) 中的连通集.

多元函数的极限

定义 极限

• 设 \(E \subseteq \set R n\), \(f:E \to \set R m\), $\bm a $ 是 \(E\) 的\(\text{聚点}\). 若存在 \(\bm b\in \set R m\), 使得对任意的 \(\varepsilon>0\), 均存在 \(\delta>0\) 满足
  $$ |f(\bm x)-\bm b|<\varepsilon, \qquad \forall \bm x \in (B(\bm a,\delta)\backslash {\bm a})\cap E, $$
  则称 \(\bm b\) 为 \(f\) 沿 \(E\) 中元素趋于 \(\bm a\) 的极限.

命题 极限的唯一性

• 设 \(E \subseteq \set R n\), \(f:E\to \set R m\), \(\bm a\) 是 \(E\) 的聚点. 如果 \(\bm b\) 与 \(\bm c\) 是 \(f\) 沿 \(E\) 中元素趋于 \(\bm a\) 的极限, 则 \(\bm b=\bm c\).

定理 海涅归结原理

• \(\lim\limits_{\substack{\bm x \to \bm a \\ \bm x \in E}}f(\bm x)=\bm b\) 的充要条件是: 对于 \(E\) 中满足 \(\lim\limits_{k \to \infty} \bm x_k=\bm a\) 且 \(\bm x_k \neq \bm a\ (\forall k)\) 的任一序列 \(\{x_k\}\) 均有 \(\lim\limits_{k\to \infty}f(\bm x_k)=\bm b\).

定理 柯西收敛准则

• \(\lim\limits_{\substack{\bm x \to \bm a \\ E}}f(\bm x)\) 存在的重要条件是: 对任意的 \(\varepsilon>0\), 存在 \(\delta>0\), 使得对于任意的 \(\bm x,\bm y\in (B(\bm a,\delta)\backslash\{\bm a\})\cap E\) 有
  $$ |f(\bm x)-f(\bm y)|<\varepsilon. $$

定理 夹逼定理

• 设 \(E \subseteq \set R n\), \(\bm a\) 是 \(E\) 的聚点, \(f\), \(g\), \(h\) 均是定义在 \(E\) 上的函数, 并且存在 \(\delta>0\), 使得存在 \((B(\bm a,\delta)\backslash\{\bm a\})\cap E\) 内有 \(f(\bm x)\le g(\bm x) \le h(\bm x)\). 如果
  $$ \lim\limits_{\substack{\bm x\to\bm a \ \bm x \in E}}f(\bm x)=\lim\limits_{\substack{\bm x\to\bm a \ \bm x \in E}}h(\bm x)=A, $$
  那么 \(\lim\limits_{\substack{\bm x\to \bm a \\ \bm x \in E}}g(\bm x)=A\).

连续映射

定义 连续

• 设 \(E \subseteq \set R n\), \(f:E\to \set R m\). 又设 \(\bm a \in E\). 若对任意的 \(\varepsilon>0\), 存在 \(\delta>0\), 使得对任意的 \(\bm x \in E \cap B(\bm a, \delta)\) 均有
  $$ |f(\bm x)-f(\bm a)|<\varepsilon, $$
  则称 \(f\) 在 \(\bm a\) 处连续. 若 \(f\) 在 \(E\) 的每一点处均连续, 则称 \(f\) 在 \(E\) 上连续.

注

• 按照上述定义, \(E\) 上的任一映射 \(f\) 在 \(E\)

定理

• 设 \(E\subseteq \set R n\) 且 \(f:E\to \set R m\), 则下列命题等价:

  (1) \(f\) 在 \(E\) 上连续.
  (2) 对 \(\set R m\) 中任意的开集 \(G\), \(f^{-1}(G)\) 均是 \(E\) 的开子集.
  (3) 对 \(\set R m\) 中任意的闭集 \(F\), \(f^{-1}(F)\) 均是 \(E\) 的闭子集.

命题

• 设 \(E\subseteq \set R n\) 且 \(f=(f_1,\cdots,f_m)^T:E\to \set R m\), 那么 \(f\) 是 \(E\) 上的连续函数当且仅当每个 \(f_j\ (1 \le j \le m)\) 均是 \(E\) 上的连续函数.

定理

• 设 \(f:\set R n \to \set R m\) 是连续映射. 若 \(K\) 是 \(\set R n\) 中的紧集, 则 \(f(K)\) 是 \(\set R m\) 中的紧集.

定义 凸集

• \(\set R n\) 的子集 \(S\) 被称为凸集当且仅当对任意的 \(\bm x,\bm y \in S\) 均有 $$ {(1-\lambda)\bm x+\lambda\bm y:\lambda\in [0,1]} \subseteq S. $$